Что означает знак суммы

Автомобили

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:

Что означает знак суммы

которая расшифровывается так

Что означает знак суммы(14.1)

где Что означает знак суммы— функция целочисленного аргумента. Здесь символ Что означает знак суммы(большая греческая буква "сигма") означает суммирование. Запись Что означает знак суммывнизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой Что означает знак суммыи что начальное значение этой переменной равно Что означает знак суммы. Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная Что означает знак суммы.

Пример 14.2 Вычислим несколько сумм:

1) Что означает знак суммы.

2) Что означает знак суммы. Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным Что означает знак суммыи знаменателем прогрессии равным Что означает знак суммы, то эту сумму легко найти

Что означает знак суммы

3) Что означает знак суммы.

4) Что означает знак суммы.

5) Что означает знак суммы.

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида Что означает знак суммы. Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

Что означает знак суммы

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

Что означает знак суммы(14.2)

где для трехмерного пространства Что означает знак суммы, для плоскости Что означает знак суммы.

Для единообразия будем считать, что

Что означает знак суммы

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

Замечание 14.1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,

Что означает знак суммы

Что означает знак суммы

в правой части никакой буквы Что означает знак суммынет, значит, и результат от Что означает знак суммыне зависит.

Предложение 14.1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:

Что означает знак суммы

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10419 — Что означает знак суммы | 7290 — Что означает знак суммы или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Сумма числового ряда

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:

Что означает знак суммы

Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

  • ∑ — математический знак суммы;
  • ai — общий аргумент;
  • i — переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
  • ∞ — знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.

Запись Что означает знак суммыобозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).

В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто:

Что означает знак суммы= а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм Sn. Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Что означает знак суммы

Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:

Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.

Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Что означает знак суммы

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Что означает знак суммы Что означает знак суммы

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).

Функция РЯД.СУММ в Excel

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

Что означает знак суммы

  • х – значение переменной;
  • n – степень для первого аргумента;
  • m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
  • а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

  • все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
  • все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
  • вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
  • количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Вычисление суммы ряда в Excel

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

S2 = a (1 + x) 2 ; S3 = a (1 + x) 2 и т.д.

Чтобы найти общую сумму:

Sn = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Что означает знак суммы

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Что означает знак суммы

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)

Что означает знак суммы

Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

Что означает знак суммы

  1. «Ставка» — процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
  2. «Кпер» — число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
  3. «Плт» — периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
  4. «Пс» — «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.

В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построение графика функций суммы числового ряда

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

Что означает знак суммы

Дальше нам нужна функция для начисления сложных процентов — БС(). Мы узнаем будущею стоимость инвестиций при условии равных платежей и постоянной процентной ставке. Используя функцию БС(), заполним таблицу:

Что означает знак суммы

В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:

Что означает знак суммы

Как мы считали – в строке формул.

На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» — инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:

Что означает знак суммы Что означает знак суммы

Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Что означает знак суммы

Добавим полученные значения в график «Рост капитала».

Что означает знак суммы

Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.

Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): Sn = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

  • В книжной версии

    Том 19. Москва, 2011, стр. 353-355

    Скопировать библиографическую ссылку:

    • Что означает знак суммы
    • Что означает знак суммы
    • Что означает знак суммы
    • Что означает знак суммы
    • Что означает знак суммы

    МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЕ ЗНА́КИ, ус­лов­ные обо­зна­че­ния, пред­на­зна­чен­ные для за­пи­си ма­те­ма­тич. по­ня­тий, пред­ло­же­ний и вы­кла­док. Раз­ви­тие М. з. (ма­те­ма­тич. сим­во­ли­ки) свя­за­но с об­щим раз­ви­ти­ем по­ня­тий и ме­то­дов ма­те­ма­ти­ки. Пер­вы­ми М. з. бы­ли зна­ки для изо­бра­же­ния чи­сел – циф­ры, воз­ник­но­ве­ние ко­то­рых, по-ви­ди­мо­му, пред­ше­ст­во­ва­ло по­яв­ле­нию пись­мен­но­сти. Наи­бо­лее древ­ние сис­те­мы ну­ме­ра­ции и счис­ле­ния – ва­ви­лон­ская и еги­пет­ская – поя­ви­лись ещё за 2500–3000 лет до н. э.

    Добавить комментарий

    четыре × два =